Les facultes medicales

Cours de médecine, pharmacie et chirurgie dentaire

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4.1 – Probabilité conditionnelle

Soient A et B deux événements quelconques d’un ensemble fondamental  E muni d’une loi de probabilité Pr. On s’intéresse à ce que devient la probabilité de A lorsqu’on apprend que B est déjà réalisé, c’est-à-dire lorsqu’on restreint l’ensemble des résultats possibles E à B.

La probabilité conditionnelle de A, sachant que l’événement B est réalisé, est notée Pr(AB) et est définie par la relation suivante :

Image graphique132132.trsp.gif
Equation 1 : probabilité conditionnelle

 

Dans cette équation, les probabilités des événements Image graphique133133.trsp.gif et B doivent être calculées sur tout l’ensemble fondamental E, comme si on ne savait pas que B s’est déjà réalisé. Sinon, on obtient évidemment Pr(B) = 1.

Image graphique134134.trsp.gif
Figure 1 : probabilité conditionnelle

Cette relation générale pour tout espace probabilisé s’interprète facilement dans le cas où  E est un espace équiprobable (mais cette relation est vraie pour un espace non-équiprobable !). En notant Image graphique135135.trsp.gif le nombre d’éléments de A :

Image graphique136136.trsp.gif

Pr(AB) traduit le rapport de la surface de Image graphique137137.trsp.gif sur la surface de B dans la figure 1.

Toujours dans le cas où E est équiprobable, on a

 

Image graphique138138.trsp.gif

 

Cette interprétation de la probabilité conditionnelle, facile à appréhender dans le cas d’équiprobabilité, est la définition générale de la probabilité conditionnelle qu’on doit utiliser telle quelle, sans chercher une interprétation fréquentiste dans tous les cas.

Exemple
On jette une paire de dés bien équilibrés (espace équiprobable). On observe une réalisation de l’événement {somme des dés = 6}. Quelle est la probabilité pour qu’un des deux dés ait donné le résultat 2 ?
B = {somme des deux dés = 6}
A = {au moins un des deux dés donne 2}
B = {(2, 4), (4, 2), (1, 5), (5, 1), (3, 3)}
Nombre de réalisations de Image graphique139139.trsp.gif = {(2, 4), (4, 2)} = 2

D’où Image graphique140140.trsp.gif, alors que Image graphique141141.trsp.gif (à vérifier).

4.2 Théorème de la multiplication

Reprenons l’équation 1, définition des probabilités conditionnelles : Image graphique142142.trsp.gif

 

On en tire immédiatement

Image graphique143143.trsp.gif
Equation 2 : théorème de la multiplication


L’équation 2 peut se généraliser facilement. Soient A1, …, An des événements quelconques d’un espace probabilisé ; à partir de l’équation 2, on montre :

Image graphique144144.trsp.gif

Exemple
Une boîte contient 10 articles dont 4 sont défectueux. On tire 3 objets de cette boîte. Calculer la probabilité pour que ces 3 objets soient défectueux.
Pr(1er défectueux) = 4/10
Pr(2ème défectueux / 1er défectueux) = 3/9
Pr(3ème défectueux / 1er et 2ème défectueux) = 2/8
Pr(1er et 2ème et 3ème défectueux) = 4/10×3/9×2/8 = 1/30.

4.3 Diagramme en arbre

On considère une séquence finie d’expériences dont chacune d’entre elles a un nombre fini de résultats possibles. Les probabilités associées aux résultats possibles d’une expérience dépendent du résultat de l’expérience précédente ; il s’agit de probabilités conditionnelles. Pour représenter cette séquence, on utilise une représentation « en arbre », le théorème précédent permettant de calculer la probabilité de chaque feuille de l’arbre.

Exemple
On sait que les taux de réussite au concours dans les trois CHU Pitié, Saint Antoine et Broussais (l’université Pierre et Marie Curie a longtemps comporté ces 3 CHU) étaient respectivement (données arbitraires) de 0,20 ; 0,15 ; et 0,10 (0,20 = Pr(Réussite/Pitié)) ; on sait que 1/4 des étudiants de Paris VI étaient à Saint Antoine, 1/4 à Broussais et 1/2 à la Pitié. Quelle était la probabilité qu’un étudiant de Paris VI soit reçu au concours ?

Image graphique145145.trsp.gif

R signifie réussite et E échec.
Image graphique146146.trsp.gif
Pr(R) = 0,15×1/4 + 0,20×1/2 + 0,10×1/4 = 0,1625
La probabilité qu’un chemin particulier de l’arbre se réalise est, d’après le théorème de la multiplication, le produit des probabilités de chaque branche du chemin.
Les chemins s’excluant mutuellement, la probabilité d’être reçu est égale à la somme des probabilités d’être reçu pour tout chemin aboutissant à un état R (reçu).

4.4 – Théorème de Bayes

En reprenant l’équation 2 (section 4.2), on obtient la formule de Bayes :

Image graphique147147.trsp.gif
Equation 3 : formule de Bayes

 

Le théorème est une forme développée de cette formule que nous introduisons maintenant.

Considérons des événements A1, …, An tels qu’ils forment une partition de l’ensemble fondamental E.

Par définition, les Ai s’excluent mutuellement et leur union est E :

 

Image graphique148148.trsp.gif

 

Soit B un événement quelconque

Image graphique149149.trsp.gif

De Image graphique150150.trsp.gif et de Image graphique151151.trsp.gif, on tire Image graphique152152.trsp.gif.

Soit, par distributivité, Image graphique153153.trsp.gif.

En remarquant que les Image graphique154154.trsp.gif sont exclusifs, puisque les Ai le sont, et en appliquant la 3ème règle du calcul des probabilités on obtient la formule dite des « probabilités totales » :

Image graphique155155.trsp.gif
Equation 4 : probabilités totales

En appliquant le théorème de la multiplication :

Image graphique156156.trsp.gif

 

Or, par la forme simple du théorème de Bayes, on a Image graphique157157.trsp.gif

D’où le théorème de Bayes :

Image graphique158158.trsp.gif
Equation 5  : théorème de Bayes
Exemple 1
Reprenons l’exemple des résultats au concours des étudiants de Paris VI.
Comme précédemment, soit R l’événement « un étudiant de Paris VI est reçu ». On a, en notant C1C2C3 les 3 anciens CHU Saint Antoine, Pitié et Broussais respectivement :
Pr(R) = Pr(R/C1)Pr(C1) + Pr(R/C2)Pr(C2) + Pr(R/C3)Pr(C3)
[noter que c’est la même chose que la somme des probabilités des chemins de l’arbre, qui conduisent à un succès]
Le théorème de Bayes permet de répondre à la question duale. Au lieu de chercher la probabilité d’obtenir un étudiant reçu sachant qu’il venait d’un CHU donné, on cherche la probabilité qu’un étudiant ait été inscrit à un CHU donné sachant qu’il a été reçu (probabilité des causes).
Calculons la probabilité qu’un étudiant reçu soit issu du CHU Pitié-Salpêtrière.

Image graphique159159.trsp.gif

Avec Pr(C1) = 0,25 ; Pr(C2) = 0,50 ; Pr(C3) = 0,25 ;
et Pr(R/C1) = 0,15 ; Pr(R/C2) = 0,20 ; Pr(R/C3) = 0,10.

D’où Image graphique160160.trsp.gif

Ce qui signifie que, dans ce cas, la probabilité qu’un étudiant appartienne à  C2, s’il est reçu, est plus grande que si l’on ne sait rien (probabilité a priori Pr(C2) = 0,50).
Cette façon de calculer les probabilités des causes connaissant les effets est essentielle en médecine. En effet, le problème du diagnostic peut être posé en ces termes.

Exemple 2
Considérons, pour illustrer notre propos, le problème du diagnostic d’une douleur aiguë de l’abdomen. Il s’agit d’un patient arrivant aux urgences pour un « mal au ventre ».
Si l’on ne sait rien d’autre sur le patient (on n’a pas fait d’examen clinique ou complémentaire), on ne connaît que les probabilités d’avoir tel ou tel diagnostic si on observe une douleur.
Soient D1D2 et D3 les 3 diagnostics principaux (il y en a en fait au moins une douzaine) et exclusifs ; par exemple D1 = appendicite, D2 = perforation d’ulcère, D3 = autres diagnostics.
Soit un signe s1 pour lequel on connaît Pr(s1/D1), Pr(s1/D2), et Pr(s1/D3).
Par exemple, s1 serait « présence d’une fièvre ≥ 38,5°C » ; Pr(s1/D1) = 0,90 ; Pr(s1/D2) = 0,30 ; et Pr(s1/D3) = 0,10.
Ces probabilités peuvent être estimées sur une population de patients en dénombrant le nombre de sujets ayant le diagnostic D1 et présentant le signe s1. De même, on peut connaître Pr(D1), Pr(D2) et Pr(D3).
Le problème diagnostique se pose comme celui de choisir par exemple le diagnostic le plus probable connaissant le signe s1 ; pour ce faire, on calcule Pr(D1/s1), Pr(D2/s1), Pr(D3/s1) et on retient le diagnostic qui a la plus grande probabilité : c’est l’application de l’approche bayesienne au problème de l’aide au diagnostic.

4.5 Indépendance entre événements

On dit que deux événements  A et B sont indépendants si la probabilité pour que  A soit réalisé n’est pas modifiée par le fait que B se soit produit. On traduit cela par Pr(A / B) = Pr(A).

 

D’après la définition d’une probabilité conditionnelle, Image graphique161161.trsp.gif, on tire la définition :

 

A et B sont indépendants si et seulement si Image graphique162162.trsp.gif.

La symétrie de cette définition implique qu’on a aussi bien Pr(A / B) = Pr(A) (A est indépendant de B) que Pr(B / A) = Pr(B) (B est indépendant de A) : l’apparition d’un des deux événements n’influe pas sur l’apparition de l’autre.

Note
Ce qui est défini précédemment est l’indépendance de deux événements. Si on considère maintenant 3 événements ABC, on dira que ces 3 événements sont indépendants :

  1. s’ils sont indépendants 2 à 2 : A indépendant de B ; A indépendant de C ; et B indépendant de C
  2. et si Image graphique163163.trsp.gif. Cette condition n’est pas une conséquence des précédentes.

 

4.6 Indépendance, inclusion et exclusion de deux événements

Considérons deux événements A et B.

  1. Si Image graphique164164.trsp.gif (A est inclus dans B) : si A est réalisé, alors B aussi.
    Image graphique165165.trsp.gif



    Alors Image graphique166166.trsp.gif.

    D’où Image graphique167167.trsp.gif et Image graphique168168.trsp.gif.

    A et B ne sont pas indépendants.

  2. Si Image graphique169169.trsp.gif (A et B sont exclusifs) : si A est réalisé, B ne peut pas l’être.
    Image graphique170170.trsp.gif



    Alors Image graphique171171.trsp.gif.

    D’où Image graphique172172.trsp.gif.

    De même A et B ne sont pas indépendants.

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