2.1 Ensembles, éléments
On appelle ensemble, toute liste ou collection d’objets bien définis, explicitement ou implicitement ; on appelle éléments ou membres de l’ensemble les objets appartenant à l’ensemble et on note :
- si p est un élément de l’ensemble A
- B est partie de A, ou sous ensemble de A, et l’on note ou , si
On définit un ensemble soit en listant ses éléments, soit en donnant la définition de ses éléments :
- A = {1, 2, 3}
- X = {x : x est un entier positif}
Notations :
- la négation de est
- Ø est l’ensemble vide
- E est l’ensemble universel.
2.2 Opérations sur les ensembles
Soient A et B deux ensembles quelconques.
- Intersection
- L’intersection de A et B, notée , est l’ensemble des éléments x tels que et . Soit :
= { x : et }
Le terme « et » est employé au sens si x appartient à la fois à A et à B
Cas particulier : si , on dit que A et B sont disjoints. - Réunion
- La réunion de A et B, notée , est l’ensemble des éléments x tels que ou . Soit :
= { x : ou }
Le terme « ou » est employé au sens si x appartient à A, ou à B, ou à A et B (car signifie et ). - Complémentaire
- Le complémentaire de A est l’ensemble des éléments de E qui n’appartiennent pas à A.
- Différence
- La différence entre A et B, ou complémentaire de B relatif à A, est l’ensemble des éléments de A qui n’appartiennent pas à B.
- Algèbre des ensembles
-
, -
2.3 Ensembles finis, dénombrables, non dénombrables
- Un ensemble est fini s’il est vide (Ø) ou s’il contient un nombre fini d’éléments ; sinon, il est infini :
A = {a1, a2, a3} est fini ;
I = {} est infini. - Un ensemble infini est dit dénombrable si on peut faire correspondre de façon unique chaque élément de l’ensemble à un entier naturel et un seul :
A = {n : n est un entier pair} est infini dénombrable. - Un ensemble infini est non dénombrable dans le cas contraire. Dans la pratique, les seuls ensembles infinis non dénombrables que nous rencontrerons seront des intervalles de ℜ : {} ou des intervalles de ℜ2 : {}.
2.4 Ensembles produits
Soient A et B deux ensembles ; l’ensemble produit de A et de B, noté , est l’ensemble de tous les couples ordonnés (a, b), avec et .
Exemples :
- A = {a, b, c} ; B = {1, 2}
= { (a, 1), (a, 2), (b, 1), (b, 2), (c, 1), (c, 2) } - est le plan cartésien, chaque élément de étant défini par son abscisse et son ordonnée :
2.5 Familles d’ensembles
Les éléments d’un ensemble peuvent eux-mêmes être des ensembles. On dit alors que ces ensembles font partie de la même classe ou de la même famille.
- Parties
- Soit un ensemble A quelconque. On appelle famille des parties de A l’ensemble des sous-ensembles de A.
Exemple : A = {1, 2}
- Partition
- Une partition d’un ensemble A est une subdivision de A en sous-ensembles disjoints dont la réunion forme A.
- Notation
- Soit une famille d’ensembles {Ai} = {A1, A2, …., An, ….} qui peut être finie ou non. On note :
2.6.1 Rappel sur les sommes
Soit {ai} une suite de termes ai. On note .
Propriétés :
-
Si k est une constante (indépendante de i), elle peut être sortie de la somme.
2.6.2 Rappel sur les intégrales
- Définition
- Soit f une fonction réelle. L’intégrale définie de cette fonction sur l’intervalle [a,b] est l’aire sous la courbe de f sur l’intervalle [a,b].
Elle est notée . - Propriétés
-
- Fonction primitive
- Soit f une fonction réelle. L’aire sous la courbe sur l’intervalle varie lorsqu’on fait varier x de -∞ à +∞. Cette aire est une fonction F de x, appelée fonction primitive de f. Elle est définie par :
Noter l’utilisation de la variable d’intégration τ. On peut utiliser n’importe quel nom de variable (il s’agit d’une variable muette), différent de la borne d’intégration x.
- Propriétés
-
- Si , alors
Donc F se déduit de f par intégration, et f se déduit de F par dérivation.
- Si , alors
- Un ensemble est fini s’il est vide (Ø) ou s’il contient un nombre fini d’éléments ; sinon, il est infini :