Les facultes medicales

Cours de médecine, pharmacie et chirurgie dentaire

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2.1 Ensembles, éléments

On appelle ensemble, toute liste ou collection d’objets bien définis, explicitement ou implicitement ; on appelle éléments ou membres de l’ensemble les objets appartenant à l’ensemble et on note :

  • Image graphique55.trsp.gif si p est un élément de l’ensemble A
  • B est partie de A, ou sous ensemble de A, et l’on note Image graphique66.trsp.gif ou Image graphique77.trsp.gif, si Image graphique88.trsp.gif

 

On définit un ensemble soit en listant ses éléments, soit en donnant la définition de ses éléments :

  • A = {1, 2, 3}
  • X = {x : x est un entier positif}

 

Notations :

  • la négation de Image graphique99.trsp.gif est Image graphique1010.trsp.gif
  • Ø est l’ensemble vide
  • E est l’ensemble universel.

 

2.2 Opérations sur les ensembles

Soient  A et  B deux ensembles quelconques.

Intersection
L’intersection de A et B, notée Image graphique1111.trsp.gif, est l’ensemble des éléments x tels que Image graphique1212.trsp.gif et Image graphique1313.trsp.gif. Soit :
Image graphique1414.trsp.gif = { x : Image graphique1515.trsp.gif et Image graphique1616.trsp.gif }
Le terme « et » est employé au sens Image graphique1717.trsp.gif si x appartient à la fois à  A et à  B

Image graphique1818.trsp.gif



Cas particulier : si Image graphique1919.trsp.gif, on dit que A et B sont disjoints.

Réunion
La réunion de A et B, notée Image graphique2020.trsp.gif, est l’ensemble des éléments  x tels que Image graphique2121.trsp.gif ou Image graphique2222.trsp.gif. Soit :
Image graphique2323.trsp.gif = { x : Image graphique2424.trsp.gif ou Image graphique2525.trsp.gif }
Le terme « ou » est employé au sens Image graphique2626.trsp.gif si  x appartient à A, ou à B, ou à A et B (car Image graphique2727.trsp.gif signifie Image graphique2828.trsp.gif et Image graphique2929.trsp.gif).

Image graphique3030.trsp.gif
Complémentaire
Le complémentaire de A est l’ensemble des éléments de E qui n’appartiennent pas à  A.
Image graphique3131.trsp.gif

Image graphique3232.trsp.gif
Différence
La différence entre A et B, ou complémentaire de B relatif à A, est l’ensemble des éléments de A qui n’appartiennent pas à B.
Image graphique3333.trsp.gif

Image graphique3434.trsp.gif
Algèbre des ensembles
Image graphique3535.trsp.gif Image graphique3636.trsp.gif
Image graphique3737.trsp.gif Image graphique3838.trsp.gif
Image graphique3939.trsp.gif Image graphique4040.trsp.gif
Image graphique4141.trsp.gif Image graphique4242.trsp.gif
Image graphique4343.trsp.gif Image graphique4444.trsp.gif
Image graphique4545.trsp.gif Image graphique4646.trsp.gif
Image graphique4747.trsp.gif Image graphique4848.trsp.gif
Image graphique4949.trsp.gif Image graphique5050.trsp.gifImage graphique5151.trsp.gif
Image graphique5252.trsp.gif Image graphique5353.trsp.gif

2.3 Ensembles finis, dénombrables, non dénombrables

 

  • Un ensemble est fini s’il est vide (Ø) ou s’il contient un nombre fini d’éléments ; sinon, il est infini :
    A = {a1a2a3} est fini ;
    I = {Image graphique5454.trsp.gif} est infini.
  • Un ensemble infini est dit dénombrable si on peut faire correspondre de façon unique chaque élément de l’ensemble à un entier naturel et un seul :
    A = {n : n est un entier pair} est infini dénombrable.
  • Un ensemble infini est non dénombrable dans le cas contraire. Dans la pratique, les seuls ensembles infinis non dénombrables que nous rencontrerons seront des intervalles de  : {Image graphique5555.trsp.gif} ou des intervalles de 2 : {Image graphique5656.trsp.gif}.

2.4 Ensembles produits

Soient A et B deux ensembles ; l’ensemble produit de A et de B, noté Image graphique5757.trsp.gif, est l’ensemble de tous les couples ordonnés (a, b), avec Image graphique5858.trsp.gif et Image graphique5959.trsp.gif.

Exemples :

  • A = {a, bc} ; B = {1, 2}
    Image graphique6060.trsp.gif = { (a, 1), (a, 2), (b, 1), (b, 2), (c, 1), (c, 2) }
  • Image graphique6161.trsp.gif est le plan cartésien, chaque élément de Image graphique6262.trsp.gif étant défini par son abscisse et son ordonnée :
    Image graphique6363.trsp.gif

 

2.5 Familles d’ensembles

Les éléments d’un ensemble peuvent eux-mêmes être des ensembles. On dit alors que ces ensembles font partie de la même classe ou de la même famille.

Parties
Soit un ensemble A quelconque. On appelle famille des parties de A l’ensemble des sous-ensembles de A.
Exemple : A = {1, 2}
Image graphique6464.trsp.gif
Partition
Une partition d’un ensemble A est une subdivision de A en sous-ensembles disjoints dont la réunion forme A.
Notation
Soit une famille d’ensembles {Ai} = {A1A2, …., An, ….} qui peut être finie ou non. On note :
Image graphique6565.trsp.gif

Image graphique6666.trsp.gif

2.6.1 Rappel sur les sommes

Soit {ai} une suite de termes ai. On note Image graphique6767.trsp.gif.

Propriétés :

  1. Image graphique6868.trsp.gif
  2. Image graphique6969.trsp.gif

    Si k est une constante (indépendante de i), elle peut être sortie de la somme.

 

2.6.2 Rappel sur les intégrales

 

Définition
Soit f une fonction réelle. L’intégrale définie de cette fonction sur l’intervalle [a,b] est l’aire sous la courbe de f sur l’intervalle [a,b].
Elle est notée Image graphique7070.trsp.gif.

Image graphique7171.trsp.gif
Propriétés
  1. Image graphique7272.trsp.gif
  2. Image graphique7373.trsp.gif
  3. Image graphique7474.trsp.gif
Fonction primitive
Soit f une fonction réelle. L’aire sous la courbe sur l’intervalle Image graphique7575.trsp.gif varie lorsqu’on fait varier x de -∞ à +∞. Cette aire est une fonction F de x, appelée fonction primitive de f. Elle est définie par :
Image graphique7676.trsp.gif

Noter l’utilisation de la variable d’intégration τ. On peut utiliser n’importe quel nom de variable (il s’agit d’une variable muette), différent de la borne d’intégration x.

Propriétés
  1. Si Image graphique7777.trsp.gif, alors Image graphique7878.trsp.gif

    Donc F se déduit de f par intégration, et f se déduit de F par dérivation.

  2. Image graphique7979.trsp.gif
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